Shapley value

Mamy zbiór $N$ zawodników (i $|N|=n$), którzy wzięli udział w kooperatywnej grze. Jako zbiór dostali pewną nagrodę. W jaki sposób sprawiedliwie powinni ją między siebie podzielić?

Zakładamy, że mamy dostęp do $v:2^N\to \mathbb{R}$, gdzie $v(K)$ to nagroda jaką dostałby zbiór $K\subseteq N$.

Udział zawodnika $i$ w osiągnięciu nagrody $v(N)$ powinien być następujący:${\varphi }_i={\sum }_{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}(v(S\cup \{i\})-v(S))$ Wyjaśniając, iterujemy po wszystkich podzbiorach $S\subseteq N\setminus \{i\}$, sprawdzamy jaki byłby zysk z dodania zawodnika $i$ do zbioru $S$ (czyli $v(S\cup \{i\})-v(S)$) i wagujemy ten zysk poprzez prawdopodobieństwo wystąpienia sekwencji $S,i,N\setminus \{i\}\setminus S$.