Twierdzenie Frisch-Waugh-Lovell (FWL)

Mamy model: $Y={\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2$gdzie $X_1$ i $X_2$ to dwie macierze obserwacji, a ${\beta }_{1,2}$ to wektory wag.

Zamiast estymować ${\beta }_{1,2}$ “normalnie”, możemy zrobić tak:

1. robimy model przewidujący $Y$, tylko na zmiennych $X_2$, tj. $y\ast ={\gamma }_1{X}_2$
2. robimy model przewidujący $X_1$ (!), na zmiennych $X_2$, czyli ${\hat{X}}_1={\gamma }_2{X}_2$
3. liczymy residua ${\tilde{X}}_1=X_1-{\hat{X}}_1$ oraz $\tilde{Y}=Y-y\ast$
4. robimy model liniowy $\tilde{Y}={\beta }_1{\tilde{X}}_1$

Tak estymowany ${\beta }_1$ wyjdzie taki sam jak gdyby robić “standardową” estymację ${\beta }_1$.

Źródło: Causal Inference for The Brave and True